PHẦN A. MỞ ĐẦU

 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Mục tiêu cơ bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.

Để nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo nhằm đạt được mục tiêu “thầy dạy tốt, trò học tốt” thì định hướng đổi mới phương pháp dạy học là hướng tới hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, chống lại thói quen học tập thụ động. Đổi mới phương pháp dạy học bao gồm đổi mới nội dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh, đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong dạy học, đổi mới kỹ thuật dạy học với định hướng “kỹ thuật dạy học tích cực là hạt nhân”.

Môn Toán ở  bậc THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ. Bên cạnh đó vẫn cần những người thầy như những cầu nối giữa các em và tri thức, giúp các em đi đúng hướng, giúp các em tiếp nhận kiến thức một cách chủ động, sáng tạo.

      Để đạt được những điều trên ngoài sự chủ động, sáng tạo của người học thì những giáo viên đứng lớp nói chung và giáo viên dạy  Toán nói riêng cần biết quan tâm, trăn trở để tìm ra hướng đi thích hợp cho mỗi đơn vị kiến thức và chọn lựa phương pháp tối ưu nhằm truyền đạt đến học sinh một cách có hiệu quả nhất.

Trong khi học Toán, phần lớn học sinh đều ngại và “sợ” Hình học, bởi vì để học Hình học tốt thì đòi hỏi các em phải có tư duy tốt, tính sáng tạo cao, trí tưởng tượng phong phú, nhất là phải có sự say mê nghiên cứu, tìm tòi và học hỏi.

         Trong đó, dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ là một dạng toán thường gặp trong chương trình hình học ở bậc THCS, và vẽ thêm yếu tố phụ là một phần không thể thiếu trong việc giải các bài toán hình học 9. Tuy nhiên, trong chương trình lại không có chuyên đề riêng về nội dung này. Đáp ứng nhu cầu đó, cũng như làm nền tảng, cơ sở để học sinh có có cái nhìn khái quát về dạng toán này, bản thân đã nghiên cứu và đưa vào thực hiện giảng dạy nội dung này thông qua việc giải các bài toán cụ thể có vẽ  thêm yếu tố phụ trong chương trình. Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ thông qua những bài tập mà yếu tố đường phụ vẽ thêm là đơn giản.

        Đứng trước vấn đề đó, bản thân luôn suy nghĩ làm thế nào để học sinh giải bài toán dạng toán hình học có vẽ thêm yếu tố phụ nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.  Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học 9”.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng yếu tố phụ thường vẽ thêm khi bài toán cho ở dạng nào, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.

- Ph¸t huy ®­îc tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng s¸ng t¹o, ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t­ duy, n¨ng lùc tù häc cña häc sinh, t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em høng thó , say mª häc tËp bé m«n.

- Thấy được vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh, tạo sự hứng thú cho học sinh khi học tập nội dung này.

- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thức vào thực tiễn cuộc sống.

III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu nội dung dạy học về vẽ thêm yếu tố phụ trong sách giáo khoa, sách giáo viên và sách nâng cao toán.

- Nghiên cứu những ứng dụng của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong việc giải các bài toán có liên quan để thấy được tầm quan trọng của nội dung này.

-  Nghiên cứu các dạng bài tập có liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ trong sách giáo khoa, sách bài tập và sách nâng cao dành cho học sinh THCS.

          - Thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập để thấy được sự nắm bắt của học sinh. Qua đó nhận ra những tồn tại, những sai lầm và những thiếu sót mà học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán có vẽ thêm yếu tố phụ. Từ đó tìm ra những giải pháp phù hợp nâng cao chất lượng giảng dạy.

- Tìm hiểu kĩ đối tượng học sinh (qua khảo sát và thông qua giáo viên chủ nhiệm) nhằm phân loại đối tượng học sinh để có biện pháp giảng dạy phù hợp.

IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học 9” trong môn Hình học lớp 9.

V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

* Phương pháp nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu qua các tài liệu về phương pháp dạy học Toán và các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác dành cho giáo viên và học sinh.

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh như:

          + Sách giáo khoa.

          + Sách giáo viên.

          + Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh

* Phương pháp thực nghiệm: Nghiên cứu qua các tiết dạy trên lớp, qua việc thực hành giải toán của học sinh và qua khảo sát.

* Phương pháp tư vấn: Tham khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài.

VI. PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 9A1 trường THCS Vĩnh Hòa - Huyện Phú Giáo – Tỉnh Bình Dương.

- Nghiên cứu và thực hiện đề tài trong hai năm học 2013 – 2014 và 2014 - 2015.

VII. GIỚI HẠN ĐỀTÀI

Học sinh lớp 9A1 Trường Trung học cơ sở Vĩnh Hòa qua các năm học 2013 – 2014 và 2014 - 2015. 

PHẦN B. NỘI DUNG

I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:

Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành kèm theo quyết định số 16/2006/QĐ – BGD&ĐT ngày 5 tháng 5 năm 2006 đã nêu “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”

Nói cách khác, việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo con người mới ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật. Trong đó Toán học là một bộ môn khoa được coi là chủ lực bởi trước hết Toán học hình thành cho các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tư duy lôgic vì thế nếu chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa chúng ta đã tiếp cận với nền tri thức hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.

          Cùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, hình thành và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

          Bản thân nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và giảng dạy môn Toán nói riêng, trong những năm được phân công giảng dạy môn toán 9 theo chương trình cũ và cả chương trình mới tôi nhận thấy nội dung “vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học ” là nội dung quan trọng vì nhiều bài toán hình học chỉ có thể giải được khi vẽ thêm yếu tố phụ thích hợp như:

-         Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng.

-         Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.

-         Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường

thẳng.

-         Vẽ thêm tia phân giác của một góc.

-         Từ một điểm cho trước, vẽ thêm một đường thẳng song song hay vuông

góc với một đường thẳng cho trước.

-         Vẽ thêm các đoạn thẳng hoặc góc bằng nhau để tạo thành một tam giác

cân, tam giác đều, tam giác vuông.

-         Vẽ thêm đường kính của đường tròn

-          Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Chính vì có nhiều dạng như trên và thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho từng dạng nên tùy từng bài toán cụ thể mà có cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lí, tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụ luôn phải tuân theo các bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết.  Chính vì vậy, việc rèn luyện cho học sinh có kỹ vẽ thêm yếu tố phụ để giải Toán có ý nghĩa hết sức quan trọng, để học sinh nhận biết và có khả năng vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê học tập, không ngừng rèn luyện kỹ năng nhận diện và vận dụng linh hoạt các dạng yếu tố phụ cần vẽ.

        Cơ sở lí luận khi nghiên cứu nội dung “vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học” là:

- Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ đường phụ trong giải toán hình học 9, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì cho học sinh. Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.

-         Các loại yếu tố phụ thường vẽ khi giải toán hình học.

-          Phân tích tìm tòi các giải pháp mới và lựa chọn phương pháp phù hợp

với trình độ nhận thức của học sinh.

-         Các phương pháp dạy học Toán ở trường trung học cơ sở theo định

hướng đổi mới.

-         Dạy học và rèn luyện kĩ năng cho học sinh theo chuẩn kiến thức và kĩ

năng và đảm bảo phù hợp với chương trình giảm tải.

-         Giúp học sinh nắm vững các yếu tố phụ thường gặp trong giải toán hình

học ở bậc THCS, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau.

Bản thân nhận thấy tầm quan trọng đó nên luôn có gắng tìm tòi và qua đó rút ra được một vài kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy học sinh về nội dung rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán mà tôi xin chân thành ghi lại trong đề tài với mong muốn đóng góp chút kinh nghiệm nhỏ trong việc dạy nội dung này.

II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Trong năm học 2012 – 2013, sau khi dạy học nội dung vẽ thêm yếu tố phụ  tôi tiến hành khảo sát qua bài kiểm tra 45 phút và nhận được kết quả như sau:  

Kết quả trên cho thấy khả năng vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán của học sinh chưa cao. Qua tìm hiểu Tôi nhận thấy do đây là dạng khó đối với các em học sinh lớp 9, ch­¬ng tr×nh SGK bậc THCS nói chung và  lớp 9 nói riêng  lại ®Ò cËp rÊt Ýt vÒ chuyªn ®Ò nµy, các bài tập đưa ra chưa đầy đủ và phong phú, chưa được phân dạng cụ thể cũng như chưa hình thành cách giải biểu trưng cho từng dạng. Cũng chính vì những nguyên này mà khi giải các dạng bài tập có liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ học sinh rất lúng túng, không nắm được các dạng yếu tố phụ cần vẽ, dễ mắc sai lầm trong quá trình giải.

Từ thực trạng trên tôi luôn trăn trở và cố gắng tìm ra giải pháp để giảng dạy cho học sinh nội dung này một cách có hiệu quả nhất. Trong năm học 2014 – 2015 tôi nghiên cứu và đưa vào đề tài giải pháp giảng dạy sát với thực tế và truyền đạt một cách có hệ thống cho học sinh các dạng yếu tố phụ, cách vẽ thêm yếu tố phụ trong từng trường hợp cũng như các loại yếu tố phụ thường gặp trong chương trình toán 9. Mong rằng những giải pháp thiết thực này sẽ giúp các em có kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán một cách tốt và linh hoạt hơn.

Những giải pháp Tôi nghiên cứu và đưa vào áp dụng như sau:

- Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan như: các bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình Toàn THCS, các yếu tố phụ cơ bản và thường gặp khi giải toán hình học 9, các định lí hình học... ngay từ đầu một cách thật cặn kẽ.

- Tiến hành phân loại các dạng yếu tố phụ  một cách có hệ thống, từ đó cho học sinh rèn kỹ năng vận dụng các dạng này vào giải toán. Cụ thể như sau:

+ Tr­ước khi dạy “giải toán hình học bằng phương pháp vẽ thêm yếu tố

phụ, giáo viên cần củng cố cho học sinh các bài toán dựng hình cơ bản vì các bài toán vẽ thêm yếu tố phụ phải đựa vào các phép dựng hình đó .

+ Trong từng bài toán có vẽ thêm yếu tố phụ, giáo viên hướng dẫn

phân tích, suy luận để tìm ra yếu tố phụ thích hợp cần vẽ thêm.

+ Lựa chọn hệ thống bài tập áp dụng từ dễ đến nâng cao.

Ngoài việc giúp và yêu cầu học sinh nhớ các kiến thức liên quan mét c¸ch cã hÖ thèng, tôi còn chú trọng vào các giải pháp: phân loại thành từng dạng bài tập, chú trọng rèn luyện kỹ năng vận dụng thông qua các ví dụ và các bài tập áp dụng, chỉ ra những sai lầm thường gặp nhằm khắc phục những thiếu sót trong quá trình giải toán. Đó là những biện pháp mang lại hiệu quả cao cho việc dạy học nội dung này.

III. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:     

1. Các bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình Toán THCS

1.1. Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c

Giải

* Cách dựng:

- Dựng tia Bx

- Dựng đường tròn ( B; c). Gọi C là giao điểm của đường tròn (B; c) với tia Ax

- Dựng đường trong ( B; a) và đường tròn (C; b), gọi A là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì có AB = a; AC = b; BC = c

1.2. Bài toán 2: Dựng một góc bằng một góc cho trước

Cách dựng:

- Gọi  là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; R) cắt  tia Ox ở A và cắt tia Oy ở B ta được tam giác OAB.

- Dựng DO’A’B’ = DOAB ( c.c.c) như bài toán 1, ta được 

1.3. Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xOy cho trước

Cách dựng:

- Dựng đường tròn ( A; R) cắt tia Ax ở B và cắt tia Ay ở C.

- Dựng các đường tròn ( B; r) và (C; r) chúng cắt nhau ở D.

Tia AD là tia phân giác của.

Ta được AD là tia phân giác của .

Thật vậy: DABD = DACD ( c.c.c) Þ

* Lưu ý: Hai đường tròn (B) và (C) phải có cùng bán kính và đường tròn (A) có thể có cùng bán kính với đường tròn (B).

1.4. Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.

Cách dựng:

Dựng hai đường tròn (A; R) và (B; R) chúng cắt nhau ở C, D.

Giao điểm I của CD và AB là trung điểm của AB

* Chú ý: Bán kính . Đây cũng là cách dựng đường

trung trực của đoạnthẳng cho trước.

1.5. Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.

Cách dựng:

- Dựng đường tròn (O; R) cắt a tại A và B

- Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB.

1.6. Bài toán 6: Qua điểm A cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng a cho trước.

Cách dựng:

- Qua điểm A dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a (như bài toán 5).

- Qua điểm A dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng IA.

1.7. Bài toán 7: Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) dựng tiếp tuyến với đường tròn.

Cách dựng:

- Dựng trung điểm M của đoạn thẳng OA.

- Dựng Đường tròn (M; MA), cắt đường tròn (O) tại

B và C.

Ta được AB và AC là các tiếp tuyến cần dựng.

Thật vậy: có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh OA và  nên vuông tại B. Khi đó AB OB nên AB là tiếp tuyến của (O).

 Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi áp dụng ta không cần nêu lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm một cách tùy ý.

2. Các giải pháp sư phạm thực hiện nhằm giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9.

          Đứng trước những khó khăn mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán có vẽ thêm yếu tố phụ. Bản thân đã đề ra các giải pháp:

-         Nghiên cứu kĩ các dạng yếu tố phụ cơ bản mà học sinh thường gặp trong

chương trình toán 9 và đưa ra các giải pháp từ đó hướng dẫn nhằm giúp học sinh tiếp thu và rèn luyện nội dung này sao cho thật nhuần nhuyễn.

-         Thông qua hệ thống các ví dụ và các bài tập vận dụng nhằm khai thác

từng dạng và cho học sinh tự rèn luyện để củng cố và khắc sâu.

2.1.    Dạng 1: Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng.

2.1.1.  Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có. Chứng minh rằng

. (SGK Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Để chứng minh , ta cần tạo ra một tam giác đều có chứa góc B từ đó ta thấy việc vẽ thêm trung điểm M của cạnh BD và áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền sẽ giúp tìm ra lời giải cho bài toán.

Giải:

Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC

Ta có:  vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền BC

Đặt AB = a (a > 0)

Vì (gt) AC = AB = a

 vuông tại A nên theo định lí Py-ta-go, ta có:    

Suy ra:  

Vậy  là tam giác đều nên  

Cách 2:

Đặt: AB = a  (a > 0)        

Vì (gt) AC = AB = a

 vuông tại A nên theo định lí Py-ta-go, ta có:    

LÊy B’ ®èi xøng víi B qua A => CB = BB’ = CB’ = 2a

     =>  lµ tam gi¸c ®Òu nªn:   

     a = 60^o

2.1.2.  Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE. Chứng minh rằng bốn

điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn. (SGK Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Bốn điểm B, E, D, C là các đỉnh của hai tam giác vuông có chung cạnh huyền BC, mà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Từ đó vẽ thêm trung điểm của cạnh huyền BC giúp ta tìm được lời giải của bài toán.

Giải: Goïi M laø trung ñieåm BC

Ta có: EM, DM lần lượt là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông ABC và ADC nên:

Do đó:

Vậy:  B, E, D, C cuøng thuoäc ñöôøng troøn (M; )

2.1.3.  Ví dụ 3: Tứ giác ABCD có . Chứng minh rằng bốn điểm A, B,

C, D cùng thuộc một đường tròn. (SBT Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Tương tự như ví dụ 2, bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AC, mà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Từ đó vẽ thêm trung điểm của cạnh huyền AC giúp ta tìm được lời giải của bài toán.

Giải:

Gọi I là trung điểm của AC

Ta có: BI, DI lần lượt là đường trung tuyến ứng với

cạnh huyền AC của các tam giác vuông ABC và ADC

nên: BI = DI = AI = CI =  

Do đó: Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (I; ).

2.1.4.  Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Trên AB lấy các điểm

M và N sao cho AM = BN. Qua M và N, kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.

* Hướng dẫn phân tích: Ta có tứ giác MCND là hình thang, trong đó O là trung điểm của cạnh bên MN, lúc này ta nghĩ đến việc vận dụng tính chất đường trung bình của hình thang, do đó trung điểm I của đoạn thẳng CD là yếu tố phụ cần tạo.

Giải:

Gọi I là trung điểm của đoạn thằng CD

Ta có: MCDN là hình thang (vì MC // ND)

Mà: OM = ON (vì: OA – AM = OB – BN)

           IC = ID (I là trung điểm của đoạn thằng CD)

Suy ra: OI là đường trung bình của hình thang MCDN nên OI // MC // ND 

Ta lại có: OI  CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Suy ra: MC CD và ND  CD.

* Nhận xét: Qua các bài tập trên ta nhận thấy, khi cần áp dụng các tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông và ngược lại, hay các tính chất về đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang, tính chất đường kính đi qua trung điểm của một dây, thì ta cần vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng.

2.1.5. Bài tập áp dụng.

Bài 1: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, dây CD, , CD cắt AB tại M (D nằm giữa C và M) và OM = 2R. Tính độ dài các đoạn thẳng MC và MD theo R.

Bài 2: Cho điểm A cố định nằm trên đường trong đường tròn (O; R) (AO), B là điểm chuyển động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng trung điểm M của đoạn thẳng AB thuộc một đường tròn cố định.

Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và  tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn . Chứng minh rằng .

Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và  tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn . Chứng minh rằng đường tròn đường kính  tiếp xúc với đường thẳng CD.

2.2.         Dạng 2: Từ một điểm cho trước, vẽ thêm một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

2.2.1.  Ví dụ 1: Cho ABC là tam giác đều cạnh 5cm và góc ADB bằng

40⁰ (như hình vẽ bên). Hãy tính:

a)     AD

b)    DB

(SBT Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Ở đây ta cần áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác

vuông để tính các đoạn thẳng nên việc vẽ thêm đường vuông góc với CD từ A sẽ

giúp ta tạo ra được các tam giác vuông, từ đó giúp ta giải được bài toán.

Giải: Kẻ  

a)  đều nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến

Do đó:  (cm)

vuông tại H, nên:  

vuông tại H, nên:  

b) vuông tại H, nên:

Do đó: DB = HD – HB

2.2.2.  Ví dụ 2: Các cạnh của một tam giác có độ dài 4cm, 6cm, 6cm. Hãy tính

góc nhỏ nhất của tam giác đó. (SBT Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Vẽ thêm đường cao AH để tạo ra các tam giác vuông AHB và áp dụng định nghĩa các tỉ số lượng của góc nhọn tìm được góc B, từ đó tính được góc A.

Giải:

Trong tam giác ABC, ta có: BC là cạnh nhỏ nhất nên  

là góc nhỏ nhất (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Kẻ

 cân tại A (vì AB = AC = 6cm), có AH là đường cao nên

 đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác

Do đó:

vuông tại H, nên:

Vậy:  

2.2.3.  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, , .

Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính đoạn thẳng AN.

 (SGK Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Do chưa có đủ điều kiện để tìm AN từ hai tam giác vuông ANB và ANC nên cần tính AB trước. Do đó cần vẽ thêm AK AC để tạo ra tam giác vuông ABK có chứa cạnh AB. Áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc  vào tam giác vuông ABK tìm AB, sau đó tìm AN.

Giải:

Töø B keû BKAC (KAC)

Xeùt tam giaùc vuoâng BCK ta coù:  = 30⁰= 60⁰

Aùp duïng heä thöùc giöõa caïnh vaø goùc vaøo tam giaùc vuoâng BKC ta coù :

BK= BC. sinC = 11.sin30⁰ = 11.= 5,5 (cm)

Coù =  –

               = 60⁰ - 38⁰ = 22⁰

AB =

2.2.4.  Ví dụ 4: Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau. Các tia

AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn (O). Chứng minh rằng: EA = EC. 

(SGK Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Bài toán cho AB và CD là các dây của đường tròn, nên ta sẽ nghĩ đến việc vẽ thêm  và để áp dụng định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm.

Giải:

Vẽ

Khi đó:  và  (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Ta có: AB = CD nên OH = OK (lieân heä giöõa daây vaø khoaûng caùch ñeán taâm)

Xeùt  vaø , coù:

    OE : caïnh chung

    OH = OK (cmt)

 OHE = OKE (caïnh huyeàn – caïnh goùc vuoâng)

 EH = EK

Mà : (vì AB = CD, lieân heä giöõa daây vaø khoaûng caùch ñeán taâm)

 EH + HA = EK + KC EA = EC

2.2.5.  Ví dụ 5: Cho đường tròn (O) , điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây

BC vuông góc với OA tại A, dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.

 (SGK Toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: DoBC và EF là hai dây của đường tròn, ta sẽ vẽ thêm OHEF rồi áp dụng định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm để so sánh.

Giải:

Keû OHEF  

Tam giaùc OAH vuông tại H nên OA > OH (cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

 BC < EF (lieân heä giöõa daây vaø khoaûng caùch ñeán taâm)

2.2.6.  Ví dụ 4: Cho tam giác AHB có , . Tia phân giác của góc B

cắt AH tại O. Vẽ đường tròn (O; OH). Chứng minh đường tròn (O; OH) tiếp xúc với cạnh AB.

(SBT Toán 9 tập 2)

* Hướng dẫn phân tích: Việc vẽ thêm OK AB rồi áp dụng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến sẽ giúp ta giải được bài toán.

Giải:

Kẻ  

Vì O thuộc tia phân giác của góc B nên O cách đều

hai cạnh của góc

Do đó: OH = OK

Xét hai tam giác vuông OHB và OKB, có:

   OB là cạnh chung

   OH = OK (cmt)

Suy ra:  (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 OK = OH.

Vì AB vuông góc với bán kính OK nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O; OH)

* Nhận xét: Qua các bài tập trên ta nhận thấy, khi cần tạo ra các tam giác vuông để áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính độ dài các đoạn thẳng hoặc các góc, hay áp dụng các định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây, tính chất và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn, thì việc vẽ thêm các đường vuông góc sẽ giúp ta giải được các bài toán dạng này. Đây là yếu tố phụ thường được sử dụng nhất trong chương trình Hình học 9.

2.2.7. Bài tập áp dụng. Bài 1: Trong hình vẽ bên, AC = 8cm, AD = 9,6cm, ,  và . Hãy tính:

a)     AB

b)   

Bài 2: Cho tam giác ABC có BC = 12cm, , .

Hãy tính:

a)     Cạnh AC

b)    Diện tích tam giác ABC.

Bài 3: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD, AB < CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O; OK) cắt KA và KC tại M và N. Chứng minh rằng:

a)      KM < KN.

b)    KM + KB < KN + KD.

Bài 4: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng:

a)     IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD.

b)    Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

2.3.    Dạng 3: Vẽ thêm đường kính của đường tròn.

2.3.1.  Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nột tiếp đường tròn (O; R) có hai đường

chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:  

(SBT Toán 9 tập 2)

* Hướng dẫn phân tích: Đẳng thức cần chứng minh làm ta suy nghĩ ngay đến định lí Py-ta-go, nên ta cần vẽ thêm đường phụ để tạo ra một tam giác vuông chứa cạnh AB hoặc CD, thêm vào đó yếu tố 4R² = (2R)² giúp ta xác định yếu tố phụ cần vẽ chính là đường kính của đường tròn.

Giải:

Vẽ đường kính AE

Ta có:  (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó:  (cùng vuông góc với AC)

Khi đó: tứ giác BCED là hình thang

Mà hình thang BCED nội tiếp đường tròn (O) nên BCED là hình thang cân

Suy ra: CD = BE (Tính chất đường chéo của hình thang cân) (1)

Ta lại có:  vuông tại, theo định lí Py-ta-go ta có:

     (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

2.3.2.  Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R, đường cao AH

. Chứng minh rằng: .

* Hướng dẫn phân tích: Để chứng minh  khi hai góc không ở trong cùng một tam giác, ta có thể chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng. Ở đây  là một góc trong tam giác vuông, do đó ta nhận thấy yếu tố phụ cần vẽ thêm để tạo ra một tam giác vuông đồng dạng chính là đường kính của đường tròn.

Giải:

Vẽ đường kính AD

Ta có:  (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét và , ta có:

 (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra:  (g.g)

Do đó: hay

* Khai thác bài toán: Từ kết quả bài toán trên, ta có thể giải được các bài toán sau:

2.3.3. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH . Chứng minh rằng: AB . AC = 2R . AH.

Giải:

Ta có:  (g.g)

Mà: AD = 2R

Do đó:

2.3.4. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh rằng:  

* Hướng dẫn phân tích: Để tính diện tích tam giác ABC ta cần vẽ thêm đường cao AH. Mặt khác từ yếu tố 4R trong công thức, thì yếu tố phụ cần vẽ là đường kính của đường tròn.

Giải:

Ta có:

Dovuông tại H nên:

2.3.5. Bài tập áp dụng.

Bài 1: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ cát tuyến ABC của đường tròn (O) (B, C ). Chứng minh rằng: AB. AC = OA² – R² .

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R), đường cao AH. Chứng minh rằng  và  có cùng một tia phân giác.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Chứng minh rằng: .

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh rằng:

2.4.          Dạng 4: Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

2.4.1.  Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và  tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là

tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn . Tính số đo góc CAD.

(SBT toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Đối với các bài toán hình học cho hai đường tròn tiếp xúc nhau, thường ta phải vẽ thêm tiếp tuyến chung, từ đó áp dụng các tính chất về tiếp tuyến, từ đó tìm ra lời giải cho bài toán. Bài toán này còn thiếu tiếp tuyến chung trong, đây là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán.

Giải:

Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt CD tại I

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

IA = IC; IA = ID

Suy ra: IA = IC = ID =  

Khi đó tam giác ACD có AI là đường trung tuyến ứng với CD và IA =  nên  vuông tại A

Vậy:

2.4.2.  Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và  tiếp xúc ngoài tại A. Gọi MN là

tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn . Tính số đo góc CAD. Gọi P là điểm đối xứng với M qua , Q là điểm đối xứng với N qua . Chứng minh rằng: .

(SBT toán 9 tập 1)

* Hướng dẫn phân tích: Ta nhận thấy bài toán này còn thiếu tiếp tuyến chung trong, nên đây là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán.

Giải:

Kẻ tiếp tuyến chung tại A, cắt MN và PQ theo thứ tự

tại E và F

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

EM = EN = EA và FP = FQ = FA

Do đó: MN + PQ = EM + EN + FP + FQ

        = 2EA + 2FA = 2(EA + FA) = 2EF

2.4.3. Bài tập áp dụng.

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và  tiếp xúc ngoài tại A. Hai điểm B và C lần lượt nằm trên đường tròn (O) và  sao cho . Chứng minh rằng OB //C

Bài 1: Cho hai đường tròn (O; R) và  tiếp xúc trong tại A. Các dây cung AB và AC của đường tròn (O) cắt  lần lượt tại D và E . Chứng minh rằng: BC // DE.

Bài 3: Cho hai đường tròn (O; R) và  tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ cát tuyến chung BAC và DAE . Chứng minh rằng: BD // CE.

Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) và  tiếp xúc trong tại A, với R > . Dây BC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn  tại D. Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC.

IV. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC :

Qua hai năm tiến hành nghiên cứu và khảo sát đề tài (2013 – 2014 và 2014 – 2015). Tôi nhận thấy sau khi chọn lọc, hệ thống, phân loại và nêu ra các dạng yếu tố phụ cho học sinh tôi thấy các em say mê hơn, khả năng vận dụng tốt hơn. Loại toán trên giúp các em phát triển tư duy, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc sáng tạo, linh hoạt khi làm toán.

* Đề bài kiểm tra khảo sát (thời gian làm bài 45 phút):

 Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 10cm, BC = 16cm. Hãy tính:

a)     Các góc của tam giác ABC.

b)    Diện tích tam giác ABC.

      Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Chứng minh rằng: .

      Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và  tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn .

a)     Tính số đo góc CAD.

b)    Tính độ dài CD biết OA = 4,5cm và A = 2cm

Kết quả kiểm tra được thống kê như sau:  

* Năm học 2013 – 2014:

* Năm học 2014 – 2015:

Kết quả trên phần nào chứng tỏ các em đã có kỹ năng nhận phân loại và biết vẽ yếu tố phụ thích hợp cho từng dạng toán. Số lượng học sinh đạt điểm dưới 5 giảm đáng kể, điểm trung bình – khá tăng. Qua đó Tôi nhận thấy việc áp dụng các biện pháp trên đã góp phần nâng cao chất lượng dạy và học vẽ thêm yếu tố phụ vào giải Toán Hình học 9.

PHẦN C. KẾT LUẬN

 I. KẾT LUẬN

Trong hai năm học qua, trên cơ sở thực tiễn của việc chọn đề tài và qua các biện pháp đã thực hiện như trên, tôi rút ra được một vài nhận xét sau :

- Việc phân loại cụ thể từng yếu tố phụ với các ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh dễ hiểu, biết cách vận dụng và trình bày bài toán.

- Thông qua những hướng dẫn phân tích ví dụ giúp học sinh có thói quen suy nghĩ, lập luận nhằm giúp học sinh phát huy khả năng phân tích, tổng hợp.

- Việc phân tích những sai lầm sẽ giúp học khắc phục được những thiếu sót hay gặp phải trong giải toán và củng cố những hiểu biết chưa thấu đáo.

- Ngoài ra, việc đưa những cách giải khác nhau cho một bài toán nhằm kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, gợi sự say mê hứng thú học tập cho học sinh.

          Tôi đã áp dụng những biện pháp trên vào dạy học và nhận thấy các em tiếp thu tốt, hứng thú và tích cực hơn trong quá trình học, vận dụng được vào việc giải các bài tập cụ thể và những dạng toán có liên quan. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.

Trong quá trình giảng dạy từ năm 2002 đến nay tại trường trung học cơ sở Vĩnh Hoà, nhằm thực hiện mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và chất lượng môn Toán nói riêng, cùng với sự nhiệt tình và nỗ lực của bản thân, bên cạnh đó lại được sự giúp đỡ của ban giám hiệu nhà trường, sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn, các em học sinh tích cực học tập là động lực giúp tôi hoàn thành đề tài này. Bên cạnh những kết quả nêu trên, tôi nhận thấy bản thân mình cần phải cố gắng hơn, không ngừng học tập ở bạn bè và đồng nghiệp, không ngừng nghiên cứu để đổi mới phương pháp giảng dạy, góp một phần nhỏ của mình để chất lượng học tập bộ môn ngày càng được nâng cao và nhất là truyền đến học sinh sự say mê Toán học. Những kinh nghiệm nhỏ trên đây có thể không phải là điều mới mẻ và còn nhiều thiếu sót. Tuy nhiên vì thời gian có hạn, kinh nghiệm cũng như năng lực của bản thân còn hạn chế. Kính mong thầy cô và các anh (chị) đồng nghiệp vui lòng góp ý bổ xung để kinh nghiệm này ngày càng hoàn chỉnh hơn và có tác dụng tích cực đến việc dạy – học « Rèn luyện kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài Toán Hình học 9».

II. KIẾN NGHỊ

Với lượng thời gian để thực hiện đề tài ít, mặt khác đây cũng là nội dung khó và không có các chuyên đề dành riêng nên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn. Để sáng kiến kinh nghiệm trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả. Tôi xin có một vài kiến nghị sau:

- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tiễn giảng dạy.

          -  Đối với phòng giáo dục: Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu (Vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học ) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay.

                                                                            Vĩnh Hòa, ngày 15 tháng  01  năm 2016                    

                                                                                  NGƯỜI THỰC HIỆN

                                                                                                                                           Hoàng Thị Thanh Mai

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Sách giáo khoa Toán 9 – Tập I, II (NXBGD).

2/ Sách giáo viên Toán 9 – tập I, II (NXBGD).

3/ Sách bài tập Toán 9 – tập I, II (NXBGD).

4/ Nâng cao và phát triển Toán 7, 8, 9 -  Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD.

5/ Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9 – Nguyễn Đức Tấn (NXBGD)

6/ Tài liệu hướng dẫn ôn thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán Tỉnh Bình Dương  (NXBĐHSP).

MỤC LỤC

PHẦN A. MỞ ĐẦU                                                                              

     I. Lí do chọn đề tài .................................................................................Trang 1

     II. Mục đích nghiên cứu ..........................................................................Trang 2

     III. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................... Trang 3

     IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ......................................................Trang 3

     V. Các phương pháp nghiên cứu..............................................................Trang 3

     VI. Phạm vi của đề tài ..............................................................................Trang 4

     VII. Giới hạn đề tài ...................................................................................Trang 4

PHẦN B. Nội dung                                                                               

     I. Cơ sở lý luận .........................................................................................Trang 4

     II. Cơ sở thực tiễn ................................................................................... Trang 7

     III. Các biện pháp thực hiện.                                                            

1.  Các bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình Toán THCS      

               1.1. Bài toán 1................................................. ............................Trang 8

     1.2. Bài toán 2................................................. ............................Trang 9

     1.3. Bài toán 3................................................. ............................Trang 9

     1.4. Bài toán 4...............................................................................Trang 9

     1.5. Bài toán 5................................................................................Trang 10

     1.6. Bài toán 6...............................................................................Trang 10

     1.7. Bài toán 7................................................................................Trang 10

2. Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9.         

     2.1. Dạng 1: Vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng.…….........Trang 11

     2.2. Dạng 2: Từ một điểm cho trước, vẽ thêm một đường thẳng vuông

              góc với một đường thẳng cho  trước..………………...........Trang 14

               2.3. Dạng 3: Vẽ thêm đường kính của đường tròn........................Trang 19

     2.4.Dạng 4: Vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn....... ...Trang 22

     IV. Kết quả đạt được ..............................................................................Trang 24

PHẦN C. Kết luận.                                                                               

     I. Kết luận ............................................................................................Trang 25

     II. kiến nghị     .......................................................................................Trang 25

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG PHÊ DUYỆT

...........................................................................................................................................................            

...........................................................................................................................................................                        

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................